2º ESO. Tema 2: FRACCIONES Y DECIMALES


TEMA 2: FRACCIONES Y DECIMALES

Fracción:
            Una fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma:
            a  es el numerador e indica las partes que se toman.
            b  es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad (b distinto de cero).
            Así, por ejemplo, en la fracción
 el denominador, 4, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales  y de ellas se toman las que indica el numerador, 3 .




Significados de una fracción:

            a) Como una parte de la unidad: Se divide a la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman las partes que indique el numerador.



             b) Como una división: El numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.


            c) Como un operador: Cuando hay que hallar la fracción de un número, se multiplica la fracción por el número (se multiplica el numerador por el número y se divide el resultado entre el denominador).


Clases de fracciones:

            a) PROPIA: Si el numerador es menor que el denominador (a < b): 



            b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador (a > b): 

                 (Las calculadoras suelen representar este tipo de fracciones como un número mixto
que consta de parte entera –el resultado entero de dividir el numerador entre el denominador- y una fracción –cuyo numerador es el resto de la división anterior y el denominador es el mismo de la       fracción).

            c) UNIDAD: Si el numerador es igual que el denominador (a = b):



Signo de una fracción: Como la fracción es una división,

            a) Si los dos términos tienen el mismo signo, el resultado es positivo.


            b) Si los dos términos tienen distinto signo, el resultado es negativo.


Si una fracción es negativa, el signo menos se escribe delante de la fracción y nunca en el numerador ni mucho menos en el denominador.

Fracciones equivalentes:

            Son las que tienen el mismo valor.



Cómo saber si dos fracciones son equivalentes:

            a) Si al dividir el numerador entre el denominador el resultado es igual en ambas fracciones.



            b) Comparando si son iguales los productos cruzados.


(Nota: dos fracciones iguales constituyen una proporción, por lo que podríamos haber enunciado el apartado b) de la siguiente manera: dos fracciones son equivalentes si el producto de extremos es igual al producto de medios)

[(Otras formas de saber si dos fracciones son equivalentes:
- Si al multiplicar una por la inversa de la otra, el resultado es 1.
- Si al reducirlas a común denominador, son iguales.
- Si ambas tienen la misma fracción irreducible (porque, en realidad, son el mismo nº racional)]

Cómo obtener fracciones equivalentes.

            a) Por amplificación: Multiplicando a los dos términos de la fracción por un mismo número.


          
            b) Por simplificación: Dividiendo, si se puede, a los dos términos de la fracción por un mismo número.



            Si una fracción no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE. Para obtener una fracción irreducible se dividen el numerador y el denominador por el mcd de ambos.

[Propiedad fundamental: si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número resulta una fracción equivalente].

Reducir fracciones a común denominador: Se trata de obtener fracciones equivalentes a las dadas, cuyos denominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores primeros y los numeradores se obtengan dividiendo el denominador común entre cada denominador inicial y multiplicando el  resultado por su correspondiente numerador.

EJEMPLO: Reduce estas fracciones a otras dos con el mismo denominador:



            La reducción de fracciones a común denominador se utiliza  para comparar fracciones y para sumarlas y restarlas.

Comparar fracciones:

a) Fracciones con el mismo denominador: Es mayor la que tenga mayor numerador.


b) Fracciones con el mismo numerador: Es mayor la que tenga menor denominador.


c) Fracciones con distinto denominador: Se reducen a común denominador y será mayor aquélla cuya fracción equivalente tenga mayor numerador.


Sumar y restar fracciones:

            Para sumar o restar fracciones se reducen a común denominador, hallando el mcm de los denominadores, dividiendo éste (el mcm) entre los denominadores iniciales y multiplicando cada cociente por el correspondiente numerador. El resultado es una fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas y cuyo denominador es el mcm de los denominadores que ya habíamos calculado.


            El resultado final siempre se simplifica, si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número hasta obtener la fracción irreducible.
(Recuerda que la forma elegante, matemáticamente hablando, de obtener la fracción irreducible es dividiendo al numerador y al denominador por el mcd de ambos).

Si hay que sumar o restar una fracción con un entero, se considera al entero como una fracción con denominador 1.



Producto de fracciones:
                       
Es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.


División de fracciones:
           
Para dividir fracciones se multiplica la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor).



El resultado final siempre se simplifica si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número.

Problemas aritméticos con fracciones

            Se pueden presentar varios casos:

a) La fracción de un número. Para calcular la fracción de un número se multiplica la fracción por el número.

            EJEMPLO: Ángel se gasta el sábado las 2/3 partes de su paga semanal, que es de 30 €. ¿Cuánto se ha gastado?

2/3 de 30 = 2/3 · 30 = 20 €

b) Calcular el total sabiendo cuánto es una parte.

            EJEMPLO: Pepa se ha gastado durante el fin de semana 32 €, que constituyen las 2/5 partes de su paga mensual. ¿A cuánto asciende su paga mensual?

            Hasta que no sepamos ecuaciones, lo más apropiado es resolverlo de la siguiente manera:

            Como 2/5 son 32 €, si yo divido 32:2 obtendré cuánto es 1/5, o sea, 16 €.
            Para saber el total, que son 5/5, bastará con multiplicar una parte, un quinto, que son 16, por las partes que hay, que son 5 (5/5): 16 · 5 = 80 €.

c) Cálculo de la fracción restante. Cuando te facilitan en forma de fracción lo utilizado y te preguntan por la fracción que resta, hay que proceder de la siguiente manera: a la unidad, que sería el total y se representa con una fracción con el mismo numerador y denominador que el denominador de la fracción utilizada, se le resta la fracción que te han dado.

            EJEMPLO: Si Pepe se ha comido los 2/7 de una tarta, ¿qué fracción de tarta queda?

            A la unidad, que es el total y en este caso serían 7/7, se le resta 2/7 y obtenemos que quedan 5/7.

7/7 - 2/7 = 5/7

d) Fracción de una fracción restante.

            EJEMPLO: Ana se gasta el sábado 1/5 de su paga mensual y el domingo se gasta 2/3 de lo que le quedaba. Si aún tiene 16 €, ¿cuál era su paga mensual?

            Primero hay que calcular qué fracción le queda el sábado. Para ello restamos el total, 5/5, menos lo gastado: 5/5 – 1/5 = 4/5.

5/5 - 1/5 = 4/5

            También calculamos lo gastado el domingo, que serán 2/3 de 4/5, multiplicando 2/3 · 4/5, lo que nos da 8/15.

2/3 · 4/5 = 8/15

            ¡OJO! Ahora hay que calcular, en forma de fracción, cuánto suma lo gastado el sábado y el domingo: 1/5 + 8/15 = 11/15.

1/5 + 8/15 = 11/15

            Como el problema nos dice lo que le queda, que son 16 €, habremos de hallar qué fracción le queda, restándole al total, 15/15, lo gastado: 15/15 – 11/15 = 4/15.

15/15 - 11/15 = 4/15

            Si 4/15, que es lo que le queda, nos dice el enunciado del problema que son 16 €, dividiendo 16:4 sabremos cuánto es 1/15, o sea, 4 €.

16 : 4 = 15

            El total, esto es 15/15, lo obtendremos multiplicando lo que es una parte, 1/15, que hemos calculado que es 4, por las partes que hay, que son 15 (15/15)

4 · 15 = 60 €.

NÚMEROS DECIMALES: Son los que están compuestos por una parte entera y otra parte decimal, menor que la unidad, separadas por una coma. Se obtienen de las fracciones, al dividir el numerador entre el denominador.


Órdenes de unidades en los números decimales:

Unidad – décima – centésima – milésima – diezmilésima – cienmilésima – millonésima...

            Las décimas se obtienen al dividir la unidad entera en 10 partes iguales.

1 : 10 = 0,1

            Las céntesimas se obtienen al dividir la unidad entera en 100 partes iguales.

1 : 100 = 0,01

            Las milésimas se obtienen al dividir la unidad entera en 1.000 partes iguales.

1 : 1000 = 0,001

            Y así seguiríamos con los demás órdenes de unidades decimales.

[Los símbolos de las unidades decimales son: d (décimas), c (centésimas), m (milésimas), dm (diezmilésimas), cm (cienmilésimas). A partir de aquí, es muy difícil encontrar información sobre el símbolo de las millonésimas (Hay quien escribe M, otros ponen una rayita encima de una m minúscula...); yo  me inclino por utilizar mm para las millonésimas. De todas formas, a nivel escolar estas unidades tan pequeñas no se utilizan e, incluso, la simbolización de las unidades decimales da lugar a confusión: por ejemplo,¿ m qué significa, metro o milésima? Evidentemente, la m siempre será metro; sólo utilizaremos m como milésima en el estudio escolar de los números decimales. Lo mismo podemos decir de dm (decímetro), cm (centímetro), mm (milímetro), etc. Estas unidades decimales de pequeño valor sí se utilizan a nivel científico, pero aquí los símbolos están determinados por el Sistema Internacional de Unidades y están referidos a potencias de 10. Así, la millonésima es 10-6 unidades y el prefijo de 10-6 es micro y su símbolo es µ, que es la m griega minúscula]

Operaciones con números decimales:

Suma y resta de números decimales: Hay que colocar las comas una debajo de otra para que coincidan los diversos órdenes de unidades de cada sumando (unidades con unidades, décimas con décimas, etc). Se suman o restan, empezando por la derecha, como si fueran números naturales, sin olvidarnos de escribir la coma cuando lleguemos a ella.
 
            Ejemplo: 37,85 + 6,934 = 44,784



            En la resta, si el número de cifras decimales del minuendo (el de arriba) fuera menor que el de las del sustraendo, se añaden los ceros necesarios hasta igualar el número de cifras. (¡Ojo! con estos ceros del minuendo, no nos olvidemos de tratarlos como dieces.)

            Ejemplo: 37,85 – 6,934 = 30,916


            Si en una resta el minuendo es menor que el sustraendo, se le resta al sustraendo el minuendo y al resultado se le pone el signo menos.

            Ejemplo: 6,934 – 37,85 = - 30,916


Multiplicación de números decimales: Para multiplicar números decimales se colocan las cantidades una debajo de la otra, de tal forma que estén alineadas por la derecha. Se multiplican como si fueran números naturales y en el resultado se separan por la derecha con la coma tantos números como cifras decimales sumen entre el multiplicando y el multiplicador.

            Ejemplo: 237,8 · 6,09 = 1448,202


¿Cómo se multiplica un número por la unidad seguida de ceros? Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y, si no hubiere cifras suficientes, se añaden los ceros necesarios.

3,7 · 100 = 370

División de números decimales:
a) Sacar decimales: Cuando se han terminado de dividir todas las cifras enteras del dividendo se baja un cero, se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo. (Sólo pediremos dos decimales)

            Ejemplo: 3789 : 46 = 82,36


b) Decimales en el Dividendo: Se divide como si se tratara de números naturales y cuando se baje la primera cifra decimal se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo.

            Ejemplo: 654,87 : 34 = 19,26


c) Decimales en el divisor o en ambos términos (Dividendo y divisor): Quitamos los decimales del divisor multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. Para que el cociente no varíe hemos de multiplicar al Dividendo por lo mismo que al divisor. [¡Ojo!, el resto sí varía: queda multiplicado por lo que hayamos multiplicado al Dividendo].

            Ejemplo: 367,47 : 8,7 = 42,23


(Nota: Al hacer la división, las comas rojas no existen, porque desaparecen al multiplicar el Dividendo y el divisor por 100. El problema consiste en realizar la prueba de la división para comprobar si está bien hecha. Sabemos que el cociente por el divisor más el resto  nos tiene que dar el Dividendo. Pero, ¿por qué divisor multiplicamos al cociente, qué resto le sumamos y en qué Dividendo nos fijamos para el resultado? Si tomamos como divisor 8,7, el original, el Dividendo que tenemos que comprobar es el original, 367,47, pero ¿qué resto? Para sacar decimales en el cociente hemos añadido dos ceros al Dividendo, luego tenemos que dividir al resto por 100, con lo que se nos queda en 690/100=6,9, pero en la división también teníamos el Dividendo multiplicado por 100, por lo que también hemos de dividir al resto por 100: 6,9/100 = 0,069. Así que: 8,7 x 42,23 + 0,069 = 367,47. También podemos tomar como divisor no el original, sino el que hemos utilizado en la división: 870. En este caso, el Dividendo que tenemos que comprobar es el transformado en la división: 36747. ¿Y el resto? Como para sacar decimales en el cociente hemos bajado dos ceros al final del Dividendo, tenemos que dividir el resto entre 100: 690/100 = 6,9. Por lo tanto: 870 x 42,23 + 6,9 = 36747. De todas formas, creo que es menos complicado este otro razonamiento: Ya ha quedado claro que si al cociente lo multiplicamos por el divisor original, el Dividendo que hemos de obtener también será el original y si al cociente lo multiplicamos por el divisor de la división, esto es sin coma, el Dividendo a obtener también será el de la división, esto es sin coma. ¿Qué resto utilizar? Muy fácil: bajamos en línea recta la coma del Dividendo hasta llegar a la línea del resto y eso n os dirá cuántos decimales tiene el resto.  Así, en la división que nos ocupa, si queremos comprobar el Dividendo original, la coma baja hasta abajo y el resto es 0,069. Si, en cambio, queremos comprobar el Dividendo transformado, bajamos la coma y se nos sitúa entre el 6 y el 9 del resto, con lo que éste es 6,9. Esto es válido para cualquier división, no sólo cuando hay decimales en ambos términos).

¿Cómo se divide un número por la unidad seguida de ceros? Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se añaden los ceros necesarios.

6,9 : 100 = 0,069.

Redondeo de números: Redondear un número es obtener una aproximación del mismo eliminando cifras por la derecha que no aporten una información significativa. Para ello, la última cifra que dejemos se aumenta en uno si le seguía una cifra mayor que 4.

            Ej.: 37,59487, redondeando a las décimas se queda en 37,6
            Ej.: 4,87461, redondeando a las centésimas se queda en 4,87

            El redondeo se utiliza, entre otras aplicaciones, para estimar operaciones con decimales, redondeándolos a las unidades.



(¿Hasta dónde se redondea?  Normalmente, te lo suelen indicar. Por ejemplo: redondea hasta las décimas este número: 37,825. En este caso, hay que dejar la cifra de las décimas y desechar las otras por la derecha: 37,8. Si en este ejemplo te hubieran dicho: redondea hasta las centésimas, la cifra a dejar sería la de las centésimas: 37,83. Hay situaciones en las que quien redondea es uno mismo, sin que nadie le diga hasta dónde ha de redondear. El redondeo a utilizar dependerá del numero en cuestión y de otras circunstancias personales y sociales. Por ejemplo, si le has echado el ojo a un teléfono móvil de 687,5 € y tu padre, que es el que lo va a pagar, te pregunta que cuánto tendrá que desembolsar, tú le redondeas a las unidades y le dices que 688 €. Pero si quien te pregunta cuánto te ha costado es tu amiguete, tú, para fardar, redondeas a las centenas y le dices que 700 €. Otro ejemplo: si alguien te pregunta cuánto ha costado tu casa de 273.458 €, lo más corriente es redondear hasta las decenas de millar: 270.000 €. Para terminar, un ejemplo que estarás utilizando toda la vida: la velocidad de la luz es de 299 792 458 m/s y en todos los manuales ponen 300 000 km/s, redondeando hasta la cifra de las centenas de millón y cambiando la unidad de metros a kilómetros).

Clasificación de los números decimales:
Los números decimales se originan de una fracción, al dividir el numerador entre el denominador.


            Al realizar la división entre los términos de una fracción, el cociente puede ser:

            a) Un número entero y no hay cifras decimales


            b) Un número decimal exacto, con un número finito de cifras decimales.


            Originados por una fracción decimal, cuyo denominador es la unidad seguida de ceros (el denominador de la fracción irreducible sólo tiene como factores al 2 y/o al 5). (las fracciones no decimales se llaman ordinarias).

(Si la fracción decimal es la que tiene como denominador a la unidad seguida de ceros, ¿por qué la fracción 7/2 es decimal si no tiene como denominador a la unidad seguida de ceros? Porque se la puede transformar en 35/10. Por eso, la fracción decimal es la que sólo tiene en el denominador de su fracción irreducible a los factores 2 y/o al 5, porque multiplicando al denominador por 2 o por 5 se obtiene la unidad seguida de ceros. ¿Qué ocurriría si los factores del denominador fueran 2 y 3, como por ejemplo, que hubiera un 6 en el denominador? Pues que por mucho que multipliquemos o dividamos al denominador jamás obtendremos la unidad seguida de ceros. Recuerda que la unidad seguida de ceros tiene la siguiente descomposición factorial: 2n · 5n )

            c) Un número decimal periódico puro, con un número de cifras decimales (período) que se repiten infinitamente después de la coma.


            El denominador de la fracción irreducible no tiene como factores ni al 2 ni al 5.

            d) Un número decimal periódico mixto, con cifras decimales delante del período (anteperíodo) que no se repiten.


(En este número decimal periódico mixto la parte entera es 0, el anteperíodo es 1 y el período es 6)

            El denominador de la fracción irreducible tiene más factores que el 2 y/o el 5.

Fracción generatriz de un número decimal

            Todo número decimal exacto o periódico se puede transformar en la fracción que lo ha generado (fracción generatriz). Veamos los diferentes casos:

            a) Decimal finito (o exacto): El numerador es el número completo, sin la coma. El denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Se simplifica la facción, si se puede.


            Los factores primos del denominador son sólo 2 y/o 5.

            b) Decimal periódico puro: El numerador es el número completo, sin la coma, menos el número sin el período. El denominador está formado por tantos nueves como cifras tenga la parte periódica


(En los factores primos del denominador no hay ni 2 ni 5)


            c) Decimal periódico mixto: El numerador es el número completo, sin la coma, menos el número sin el período. El denominador está formado por tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica (o sea, el anteperíodo).


(Entre los factores primos del denominador hay algún 2 ó 5)



Números Racionales:

            Todos los números estudiados hasta ahora: naturales, enteros y fracciones se engloban en un conjunto llamado NÚMEROS RACIONALES, de la forma



(con b distinto de cero)

(Nota: Si la b fuera igual a cero, tendríamos un verdadero problema para dividir 7, por ejemplo, entre cero. En cursos posteriores te enseñarán a resolver este tipo de problemas, como el de tener un cero en el denominador)

            El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q (letra inicial de "quotient", palabra que en varios idiomas europeos -inglés, francés, alemán...- significa "cociente").

Un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes y se representa con la fracción irreducible.


            Hay números decimales que no son originados por fracciones. Estos números tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Se llaman IRRACIONALES.



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