2º ESO. Tema 1: Divisibilidad y Números Enteros


TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

Múltiplos y divisores:

            a es múltiplo de b, o b es divisor de a, si a:b es exacta (resto = 0).

            12 es múltiplo de 4, ó 4 es divisor de 12, porque 12:4 = 3 (resto =0).

            Los divisores de un número forman parejas, de tal forma que el producto de la pareja es el número del que son divisores. Así, p. ej., 2 y 12 forman una pareja de divisores del 24 (porque 2 x 12 = 24) (El 2 y el 3 también son divisores de 24, pero no forman una pareja de divisores del 24).

            Para obtener múltiplos de un número se multiplica a éste por cualquier otro número.

            Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

            Todo número es divisor de sí mismo.

            Todo número tiene como divisor a la unidad.

            Los múltiplos de un número son infinitos. Los divisores son finitos.

            El cero es múltiplo de cualquier número, pero divisor de ninguno.

Número compuesto: Es el que se puede descomponer en un producto de factores (divisores) distintos al 1 y a él mismo.

12, 18, 20, 60, ...

Número primo: Es el que sólo tiene como factores (divisores) a él mismo y a la unidad.

2, 3, 5, 7, 11, 13,…

(¡OJO! No nos olvidemos de decir que número primo es el que sólo tiene como divisores a 1 y a él mismo, porque si no entra la palabra sólo en la definición, ésta puede ser incorrecta).

El 0 y el 1 no se consideran primos ni compuestos.

Criterios de divisibilidad: Reglas que nos permiten descubrir, sin efectuar la división, si un número es divisible por otro.

            - Por 2: Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 ó en cifra par.
                       
8, 20, 346, 5670, 49364

            - Por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres.               
9, 18, 39, 108, 4320, 62736


            - Por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
                       
10, 25, 90, 1550, 4755, 6580, 49365.

            - Por 6: Un número es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.

12, 24, 72, 120

            - Por 9: Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.  
9, 27, 54, 72, 4320

            - Por 11: Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras que ocupan lugar impar menos la suma de las cifras que ocupan lugar par da cero o múltiplo de 11

253, 7381.

(Veamos cómo comprobar si el 7381 es múltiplo de 11: Las cifras de este número ocupan 4 lugares. En el primer lugar está el 1, en el 2º lugar está el 8, en el 3º lugar está el 3 y en el 4º lugar está el 7. Las cifras que ocupan lugares impares, el 1º y el 3º, son el 1 y el 3, que suman 4. Las cifras que ocupan lugares pares, el 2º y el 4º, son el 8 y el 7, que suman 15. Restando las dos sumas nos da: 15 - 4 = 11. Luego el 7381 es múltiplo de 11. ¡OJO! En este criterio de divisibilidad la resta puede hacerse en los dos sentidos: 15 - 4, que da 11, ó 4 - 15, que da -11, que también es múltiplo de 11. Pero, como todavía no hemos visto los números enteros y sólo estamos trabajando con los naturales, conviene restar la menor cantidad de la mayor, para obtener números naturales. Otra observación: Para saber cuáles son los lugares pares o impares se puede empezar a contar desde la derecha o desde la izquierda. En nuestro ejemplo, si empezamos desde la izquierda, los lugares impares estarían ocupados por el 7 y por el 8, que suman 15, y los lugares pares, por el 3 y por el 1, que suman 4. Restando tendremos 15 - 4 = 11).

 [Además de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 6, 9 y 11, están los siguientes (para información):
- Por 4: Si termina en dos ceros o si sus dos últimas cifras son divisibles por 4. También: Si lo es la suma de las cifras de las unidades y el doble de la de las decenas.
- Por 7: Un número de cinco cifras DmUmCDU es divisible por 7 cuando U+3D+2C-Um-3Dm es cero o múltiplo de 7.  24.206 à 6 + 3·0 + 2·2 – 4 – 3·2 = 0. También: Si al doble de las unidades le quitamos la parte entera de la décima parte del número y el resultado es múltiplo de 7. Ej.: 245 (El doble de 5 es 10; la parte entera de la décima parte de 245 es 24; 10 – 24 = -14)
- Por 8: Si termina en tres ceros o si sus tres últimas cifras son divisibles por 8. También: Si lo es la suma de las cifras de las unidades más el doble de la de las decenas más el cuádruple de la de las centenas.
- Por 12: Si lo es por 3 y por 4 a la vez.
- Por 13: Un número de cinco cifras DmUmCDU es divisible por 13 cuando U-3D-4C-Um+3Dm es cero o múltiplo de 13.   11.427 à 7 – 3·2 – 4·4 – 1 + 3·1 = -13
- Por 15: Si lo es por 3 y por 5 a la vez.
- Por 25: Si termina en dos ceros, en 25 o en un múltiplo de éste.
- Por 125: Si termina en tres ceros o si sus tres últimas cifras son múltiplos de 125.]

Ejercicios sobre CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Entre los ejercicios que te propongan para trabajar los criterios de divisibilidad puedes encontrarte algunos semejantes a éstos:

1.- Di si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 6, 9 y/o 11:

            42, 66, 40, 81, 72, 134, 270, 415, 1210, 426, 4380, 24, 218.

                (Nota: Puedes encontrar alguna respuesta a este ejercicio en este mismo blog, en el tema 2: Divisibilidad, de 1º de ESO).

2.- Sustituye las letras por una cifra para que el número resultante sea divisible por 6: 30A, 47B, 6C8, 9DE.

            Aquí nos encontramos con un ejercicio que requiere organización y meticulosidad. Veamos uno por uno:

(Antes de nada, recordemos que para que un número sea divisible por 6 lo ha de ser a la vez por 2 y por 3, esto es, ha de acabar en cifra par y la totalidad de sus cifras sumar un múltiplo de 3)

                - Número 30A. La A puede ser cualquier cifra par. Pero para ser divisible por 3 la suma de todas las cifras del número ha de ser múltiplo de 3. Si la A es 0, la suma de todas es 3. Por lo tanto, es divisible por 6. Si la A es 2, la suma de todas es 5, que no es múltiplo de 3. Si la A es 4, la suma de todas es 7, que no es múltiplo de 3. Si la A es 6, la suma de todas las cifras es 9, que es múltiplo de 3 y, por tanto, de 6. Si la A es 8, la suma de todas las cifras es 11, que no es múltiplo de 3.

                Respuesta: La A puede ser 0 ó 6, con lo que tendremos los números 300 y 306.

                - Número 47B. Siguiendo el mismo razonamiento que con el número anterior comprobaremos que la única cifra que cumple las condiciones para que el número en cuestión sea divisible por 6 es el 4.

                Respuesta: B = 4. El número es 474.

                - Número 6C8. Como termina en cifra par, sólo nos tenemos que fijar en cuánto ha de valer la letra C para que el número resultante sea divisible por 3 y, por tanto, por 6. Si la C valiera 0, la suma de sus cifras sería 14, que no es múltiplo de 3. Si la C valiera 1, la suma de sus cifras sería 15, múltiplo de 3. Si la C fuera 2, la suma de las cifras sería 16, que no es múltiplo de 3. Siguiendo con estos razonamientos, las cifras válidas para C son: 1, 4 y 7.

                Respuesta: C = 1, 4 y 7. Los números pueden ser: 618, 648 y 678.

                - Número 9DE. Este ejercicio es la joya de la corona, como se suele decir. Para responderlo es aconsejable ayudarse de una tabla con dos columnas y 11 filas. En la columna de la izquierda colocamos las 10 cifras, del 0 al 9, que pude valer la letra D y en la segunda columna colocamos los valores que puede tomar la letra E para cada uno de los valores de la D en la columna izquierda, de tal forma que el número resultante sea divisible por 6. Quedaría algo así como esto:

D
E
Números
0
0, 6
900, 906
1
2, 8
912, 918
2
4
924
3
0, 6
930, 936
4
2, 8
942, 948
5
4
954
6
0, 6
960, 966
7
2, 8
972, 978
8
4
984
9
0, 6
990, 996




Descomposición de un número en factores primos: Descomponer un número en factores primos es encontrar los factores primos que multiplicados originan el número.

                        Para descomponer un número en sus factores primos se va dividiendo sucesivamente entre los números primos por los que sea divisible, empezando por el menor. En las divisiones sucesivas cada cociente se convierte en dividendo de la siguiente división. Se termina cuando el último cociente es un uno.

EJEMPLO: Descomponer el número 72 en sus factores primos

¿El 72 es divisible por 2? Sí, porque termina en cifra par
72
2
Pongo el 2 a la derecha y divido mentalmente, escribiendo debajo del 72 el resultado
36
2
Divido 36 entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 36
18
2
Divido 18 entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 18
9
3
9 no es divisible por 2. ¿Es divisible por 3? Sí y escribo el resultado a la izquierda
3
3
Divido 3 entre 3 y escribo el resultado debajo del 3
1
Como el resultado es 1, he terminado.
72  =
 23 · 32

            Si tienes que descomponer un número terminado en ceros, puedes empezar a dividir directamente entre la unidad seguida del mismo números de ceros en que termine el número que hayas de descomponer. Así, por ejemplo, si te piden descomponer el número 7.200 en sus factores primos, puedes empezar dividiendo entre 100, con lo que se te queda en 72. Alguien podría preguntar que el número 100 no es un número primo, pero es que no pondremos 100, sino que escribiremos la descomposición en factores de 100, que es: 100 = 102 = (2 · 5)2 = 22 · 52. Recuerda que la unidad seguida de ceros es igual a los factores 2 · 5 elevados cada uno al mismo exponente que número de ceros haya. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO: Descomponer el número 420 en sus factores primos.

Comienzo dividiendo de entrada el 420 entre 10 (2 · 5)
420
2 · 5
Pongo 2 · 5 a la derecha y el resultado lo escribo debajo del 420
42
2
Como 42 es divisible entre 2, lo divido y escribo el resultado debajo del 42
21
3
¿21 es divisible entre 2? No. ¿Es divisible por 3? Sí. Divido y pongo el resultado debajo del 21
7
7
¿7 es divisible por 3? No, porque es primo. Divido 7 entre sí mismo
1
Como el resultado es 1, he terminado.
420  =
 22 · 3 · 5 · 7

Mínimo común múltiplo (mcm):
            El mcm de dos o más números es un número que es múltiplo a la vez de todos ellos y, además, es el menor.

            Para hallar el mcm de dos o más números se descomponen éstos en sus factores primos y se multiplican los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

EJEMPLO: Calcular el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

6
2
9
3
Los factores primos del 6 son 2 y 3. El factor primo del 9 es 3
3
3
3
3
Factores primos comunes: el 3. Mayor exponente del 3: el 2
1
1
Factor primo no común: el 2. Mayor exponente del 2: el 1
6 =
2 · 3
9 =
32
Multiplicamos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente: 2 · 32

De esta forma tenemos el resultado:  mcm (6 y 9) = 2 · 32 = 18.

(Cuando un número es pequeño no es necesario realizar la descomposición en sus factores primos, basta con escribirlos directamente: 6 = 2 · 3. Con la práctica y la agilidad en el cálculo mental irás sabiendo cuáles son los factores primos de los números pequeños).

[NOTA ACLARATORIA: Para calcular el mcm sólo se tienen en cuenta los múltiplos positivos de dos o más números, exceptuando el cero. Si no tuviéramos en cuenta esta consideración, el mcm de dos o más números siempre sería -. Sin embargo, los múltiplos de un número son negativos y positivos, incluyendo el cero].

Máximo común divisor de dos o más números (mcd):
            El mcd de dos o más números es un número que divide a todos ellos y, además, es el máximo.

            Para calcular el mcd de dos o más números se descomponen éstos en sus factores primos y se multiplican los factores primos comunes con su menor exponente.

EJEMPLO: Calcular el máximo común divisor de 18 y 27.

18
2
27
3
Los factores primos del 18 son 2 y 3. El factor primo de 27 es 3
9
3
9
3
Factores primos comunes: el 3. Menor exponente: el 2
3
3
3
3
Multiplicamos los factores primos comunes con su menor exponente: 32
1
1
18 =
2 · 32
27 =
33

De esta forma tenemos el resultado:  mcd (18 y 27) = 32 = 9

            Cuando el mcd de dos o más números es 1, estos números son primos entre sí.

EJEMPLO: Calcular el máximo común divisor de 4 y 9.

            Factores primos de 4 = 22.
            Factores primos de 9 = 32.

            Factores primos comunes: ninguno, excepto el 1 (recuerda que 1 es divisor de todos)

            Por lo tanto, mcd (4 y 9) = 1.

            (Observa que ni el 4 ni el 9 son primos, pero sí son primos entre sí, porque no tienen ningún divisor común, salvo el 1, que sería el máximo común divisor).

(Algoritmo de Euclides, o de las divisiones sucesivas, para el máximo común divisor: Se divide el mayor entre el menor y se van haciendo divisiones sucesivas de tal manera que el dividendo de la siguiente es el divisor de la anterior y el divisor es el resto de la anterior. En la división en que el resto sea cero, el divisor será el mcd. Ejemplo mcd(5293,4757). 5293:4757, da de resto 536; 4757:536, da de resto 469; 536:469, da de resto 67; 469:67, da de resto 0, luego 67 es el mcd de 5293 y 4757.) (Se basa en que el mcd de dos números también es divisor del resto de la división del  mayor entre el menor. Así, 5293 entre 4757 da de resto 536, que dividido entre 67 da de resto 0).
(Euclides: Matemático griego nacido en Alejandría, Egipto, en el 365 a.C. y muerto alrededor del 300 a.C. Obra principal: “Elementos de geometría”, de 13 volúmenes).
(El algoritmo de Euclides también sirve para hallar el mínimo común múltiplo: Una vez hallado el mcd por el algoritmo de Euclides, se divide uno de los números entre el mcd y el resultado se multiplica por el otro número obteniéndose así el mcm. Así, para hallar el mcm (5293, 4757) dividimos cualquiera de ellos entre el mcd y obtendremos el mcm. Veamos: 5293 : 67 = 79. 79 · 4757 = 375803. Si dividimos el otro número tenermos: 4757 : 67 = 71. 71 · 5293 = 375803. Luego mcm (5293, 4757) = 375803. En definitiva, no es nada más que una aplicación de la propiedad que dice que el producto del mcd por el mcm de dos números es igual al producto de dichos números).

(No he encontrado ninguna razón de peso sobre la escritura con minúsculas o mayúsculas de las abreviaturas mcd y mcm, salvo la de “autoridad”: tanto Abellanas como Rey Pastor lo escriben con minúsculas, al igual que la WEB del CNICE y la del Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería de la Universidad de Valladolid y…).

NÚMEROS ENTEROS: Los números enteros surgieron, entre otras razones, para poder realizar operaciones que hasta entonces no eran posibles. Por ejemplo, no hay un número natural que sea respuesta de 3 - 5.

            Una de las definiciones de números enteros es la de conjunto de números negativos y positivos: desde el menos infinito hasta el más infinito:

… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

            El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z

            En el conjunto de los números enteros están incluidos los naturales.

[El nombre de ENTEROS probablemente se refiera a que representan cantidades enteras de algo, no representan partes, divisiones o fracciones de algo. Parece ser que la letra Z es la inicial de la palabra alemana Zahl, que significa número]

Representación gráfica de los números enteros:

            Los números enteros se pueden representar en una recta numérica marcando la posición del cero y haciendo divisiones iguales hacia la izquierda y hacia la derecha. Cada división representa un número. A la izquierda del cero pondremos los negativos y a la derecha del cero, los positivos. Los números que en la recta quedan a la izquierda son menores que los que quedan a la derecha.

            Naturales + negativos = números enteros.























-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5

(Curiosidad: en los apuntes bancarios los saldos negativos se apuntaban de color rojo. De ahí la frase "estar en números rojos" para indicar que se debe dinero al banco)

Valor absoluto de un número entero: Es el valor que tiene un número sin el signo. Se representa con dos barritas verticales enmarcando al número.

|5| = 5              |-3| = 3

Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

Op de 3 = -3               Op de (-5) = 5

Si sumamos un número con su opuesto, el resultado es cero.

3 + (-3) = 0

Comparación (ordenación) de números enteros:

            a) Si los dos son positivos, es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
                       
4 > 3,    7 > 2,      1 < 6
           
            b) Si son de distinto signo, es mayor el positivo.

3 > (-5),                      7 > (-1)                       -6 < 2
           
            c) Si los dos son negativos es mayor el que tenga menor valor absoluto (el que esté más a la derecha en la recta numérica).

-2 > (-5),                     -4 > (-8)                      -6 < (-1)

Suma de números enteros:

            a) Igual signo: Se suman los valores absolutos y se pone el signo que tengan.

3 + 5 = 8                     -4 + (-2) = -6











+

+

+

=

+




















-

+

-

=

-













            b) Distinto signo: Al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.   

3 + (-4) = -1                -5 + 7 = 2



















+


+

-

=

+


































+

+


-


=

-


















(Nota: El tamaño de los cuadros indica el valor absoluto: a mayor tamaño, mayor valor absoluto)

Resta de números enteros: Se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

3 – (-5) = 3 + 5 = 8                 -8 – (-6) = -8 + 6 = -2

(Nota: Podíamos haber puesto un ejemplo en el que el sustraendo fuera un entero positivo, tal como 5 - 3, pero no debemos complicarnos la existencia, porque esta operación sabemos hacerla desde hace ya mucho tiempo con los números naturales: 5 - 3 = 2. Si lo quieres hacer complicado, sumándole al minuendo el opuesto del sustraendo, sería algo así como esto: 5 - 3 = 5 + (-3) = 2)

Multiplicar y dividir números enteros

            Se multiplican o dividen sus valores absolutos como los números naturales y para el signo se tienen en cuenta las siguientes reglas:

            a) Si los dos signos son iguales, el resultado es positivo.

                        3 · 4 = 12        -4 · (-3) = 12

                        12 : 6 = 2        -24 : (-8) = 3

            b) Si los dos signos son distintos, el resultado es negativo.

                        -4 · 5 = -20      54 : (-6) = -9

Cuadro con la regla de los signos (es válido para la multiplicación y para la división):


+
-
+
+
-
-
-
+











+

X

+

=

+




















-

X

-

=

+




















+

X

-

=

-




















-

X

+

=

-











(Nota: Este cuadro también es válido para la división, cambiando el signo de multiplicar por el de dividir)

Jerarquía de las operaciones:
            Cuando hay varias operaciones combinadas hay que realizarlas atendiendo a las siguientes prioridades:

-          Primero: Paréntesis.

-          Segundo: Multiplicaciones y divisiones por el orden en que aparezcan
(No es lo mismo 72:6·12, que da 144, que hacer 6·12 y luego dividir 72 entre 72, que daría 1. No se puede cambiar el orden, porque la división no es conmutativa ni asociativa).

-          Tercero: Sumas y restas.

-          Si hay varias operaciones seguidas con la misma jerarquía, se realizan por orden, de izquierda a derecha.

PARÉNTESIS
Productos y Divisiones



Sumas y Restas



(Podio de la Jerarquía de las operaciones)


Quitar paréntesis:

            - Si delante de un paréntesis hay un signo + quitamos el signo + y el paréntesis, dejando todos los números que haya dentro con el mismo signo que tuvieran antes:

3 + (-5) + (-2 - 1) + (4 + 2) = 3 – 5 – 2 – 1 + 4 + 2

            - Si delante de un paréntesis hay un signo - quitamos el signo – y el paréntesis y a todos los números que haya dentro los cambiamos de signo:

2 - (-8) - (3 - 2) - (-4 + 1) = 2 + 8 – 3 + 2 + 4 - 1
           
            - Si delante de un número o de un paréntesis no hay signo, se considera que tiene el signo +.

            - Los enteros positivos se escriben sin signo, igual que los naturales.

            - No puede haber dos signos seguidos (si los hubiera, hay que separarlos con paréntesis).

Resolución de operaciones combinadas:

            Cuando haya una sucesión de varias operaciones se pueden resolver de la siguiente manera:

Primero hay que quitar paréntesis, si los hubiera:

- Se puede empezar quitando los de dentro y terminar por el de fuera o, al revés, ir quitando desde fuera hacia dentro (¡OJO! con el signo menos).

EJEMPLO: 3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3]

Resolvámoslo empezando desde dentro hacia fuera:

3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 – (4 + 6 – 2 + 5 + 1 + 2 · 3) =
= 3 – 4 – 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3

(Nota: en el primer paso, para quitar el paréntesis de 2 · (3 - 1), hemos empleado la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta)

Resolvámoslo empezando desde fuera hacia dentro:

3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 - 4 - 2 · (3 - 1) + (-5 - 1) - 2 · 3 =
= 3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3

(No me cansaré de repetirlo: ¡MUCHO CUIDADO CON LOS SIGNOS MENOS!)

Quitados los paréntesis se sigue aplicando la jerarquía de las operaciones (multiplicaciones y divisiones):

3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 2 · 3 = 3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6

Terminamos la jerarquía de las operaciones con las sumas y las restas, que se pueden
realizar de dos maneras:

- Se suman los números precedidos del signo más y luego los precedidos del signo menos y al resultado de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y se pone el signo del de mayor valor absoluto.

3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 = 5 - 22 = -17

- Se suman secuencialmente: el primer número de la izquierda con el segundo, el resultado con el tercero y así sucesivamente.

3 - 4 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 = -1 - 6 + 2 - 5 - 1 - 6 = -7 + 2 - 5 - 1 - 6 =
= -5 - 5 - 1 - 6 = -10 - 1 - 6 = -11 - 6 = -17

Se pueden resolver las operaciones que haya en el interior del paréntesis (si no te han indicado lo contrario):

3 – [4 + 2 · (3 – 1) – (-5 – 1) + 2 · 3] = 3 - (4 + 2 · 2 + 6 + 6) =
= 3 - (4 + 4 + 6 + 6) = 3 - 20 = -17

(Nota: observa que - (-5 -1) se ha quedado en +6. Repito: ¡CUIDADO CON EL SIGNO MENOS!)

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta [a · (b + c)]: Si hay que multiplicar un número por una suma (o resta) se puede multiplicar al número por cada uno de los sumandos y sumar (o restar) los resultados

            a · (b + c) = a · b + a · c→ 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
                                                               2 · 7 = 6 + 8
                                                                  14 = 14

            a · (b – c) = a · b – a · c→ 2 · (4 – 3) = 2 · 4 – 2 · 3
                                                              2 · 1 = 8 – 6
                                                                   2 = 2

            -a · (b – c) = -a · b + a · c→   -2 · (4 – 3) = -2 · 4 + 2 · 3
-2 · 1 = -8 + 6
-2 = -2

                (Esta propiedad quizás la veas un poco absurda y te parecerá que los profesores la ponemos para dificultarte la vida. De todas formas, si te piden que realices la siguiente operación 13 · (3 + 2) y no te indican cómo, tú puedes operar como te sientas más seguro: puedes sumar 3 más 2 igual a 5 y multiplicar 5 por 13 igual a 65 (recuerda: primero se opera lo que hay dentro del paréntesis). También podías haber aplicado la propiedad distributiva: 13 por 3 igual a 39, 13 por 2 igual a 26 y sumar 39 más 26 igual a 65. Estoy de acuerdo en que de la primera manera es más cómoda y sencilla, pero eso no quiere decir que la propiedad distributiva carezca de efectividad; ya irás viendo, conforme vayan aumentando tus conocimientos, que esta propiedad es muy útil).

Divisibilidad en los números enteros: La divisibilidad en los números enteros se define igual que en los números naturales, teniendo en cuenta que en los números enteros los múltiplos y divisores son negativos y positivos.

Ejemplo:         múltiplos enteros de 2 = 0, ±2, ±4, ±6, ±8, …
                        divisores enteros de 12 = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

  
(Recuerda que para el mcm sólo se tienen en cuenta los enteros positivos, porque, si no, el mcm de cualquier conjunto de números siempre sería menos infinito, pero en los múltiplos y divisores de un número entero también hay que tener en cuenta los enteros negativos).



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