2º ESO. Tema 7: POLINOMIOS

DE ESO. TEMA 7: POLINOMIOS

PROGRAMACIÓN DEL TEMA




Ses.

Metodología

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- Explicar conceptos algebraicos y de monomios.
- Ejercicios pág.
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¿2 Ses?
- Corregir sesión anterior.
- Sumar, resta, multiplicación y división de monomios.
- Ejercicios pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar conceptos sobre polinomios.
- Ejercicios pág.
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¿2 Ses?
- Corregir sesión anterior.
- Suma y resta de polinomios.
- Ejercicios pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Producto de polinomios (por un número y por un monomio).
- Ejerc. Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Producto de dos polinomios (depende del nivel de la clase).
- Ejerc. Pag.
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- Corregir sesión anterior. (Continuar aquí)
- Extracción de factor común [depende del nivel de la clase].
- Ejerc. Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar igualdades notables [depende del nivel de la clase].
- Ejerc. pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar descomposición factorial de polinomios.
- Ejercicios pág.
10ª
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- Corregir sesión anteior.
- Estudio y repaso.
11ª
- CONTROL.



DESARROLLO DEL TEMA


TEMA 7: POLINOMIOS

Álgebra: Parte de las Matemáticas que nos enseña a operar con números y letras.

Expresión algebraica: Combinación de números y letras unidos por las operaciones +, -, •, :.

3x + 2a - 7b

Una letra puede representar un número cualquiera. Si una letra está repetida en una expresión algebraica, siempre tiene el mismo valor en esa expresión.

Si entre número y letra, o entre letra y letra, no hay ningún signo, se entiende que están multiplicando: 4x (4 por x) (se lee: cuatro equis).

Ejemplos de expresiones algebraicas para traducir el lenguaje ordinario:

- Un número: x

- Dos números: x, y

- El doble de un número: 2x

- El triple de un número: 3x

- La mitad de un número: x/2

- Cuántos años tendrá Pepe dentro de cinco años: x + 5

- Un número par: 2x

- Un número impar: 2x - 1

Algunas consideraciones importantes en las expresiones algebraicas:

a) Para multiplicar un nº y una letra los números se colocan (excepto el 1, que no se pone) delante de las letras, sin el signo de multiplicar.

3x (y no x3).           x (y no 1x).

b) Si en un problema hay dos cantidades desconocidas, se les asignan distintas letras.

c) Los números que multiplican letras en una expresión algebraica se llaman coeficientes y las letras, parte literal.
3xy       3 (coeficiente),     xy(parte literal)

d) Grado de una letra es el exponente al que está elevada esa letra.

3x2 + 5x – 2 à 3x2 (grado dos);   5x (grado uno);       2 (grado cero) (2x0).

e) Si el valor de las letras se desconoce, se llaman incógnitas, (también se pueden llamar variables) y se utilizan las últimas del abecedario.
ax + b = c          (x : incógnita)

Monomio: Expresión algebraica formada por productos de números y letras.

a) 3x2       b) 5ab       c) 4        d) 3x + 5ab (esta expresión algebraica no es monomio)

Monomios semejantes: Son los que tienen la misma parte literal.

3x      -7x             5a2b       8a2b                6x    2ax (no son semejantes)

Suma y resta de monomios:
a) Han de tener la misma parte literal, es decir, han de ser semejantes.

            3x + 5x =                   
            4x2 - 6x2 =
            3x + 4x2 = (No se pueden sumar, porque no tienen la misma parte literal)
            x2 - x + 4x2 + 3x = (Sólo se suman los semejantes)

b) Se suma o se resta la parte numérica (coeficientes) y se deja la misma parte literal.

3x + 5x = 8x              

4x2 - 6x2 = -2x2

            3x + 4x2 = 3x + 4x2 (como no se pueden sumar, se deja indicada)

            x2 - x + 4x2 + 3x = 5x2 + 2x (se suman sólo los semejantes

            7b - 4b = 3b

            4x – 3x = x

            7a - 8a = -a

           -6x + 6x = 0

Producto de monomios:
Se multiplican los coeficientes y también la parte literal (recordamos que para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes).

3x5x2 = 15x3                           4a5b = 20ab                    3ab4b = 12ab2


División de monomios:
Se dividen los coeficientes (si la división no es exacta, el resultado se deja en forma de fracción simplificada) y también se divide la parte literal (recordamos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes). (A veces conviene colocar la división en forma de fracción).
 
  
 
Polinomio:
Es la suma o resta indicada de monomios.

3x2 + 5y (binomio);               2x2 – 4x + 3 (trinomio);         6x3 – 3x2 + 4x – 2

[En lo sucesivo, estudiaremos polinomios de una sola variable]

Términos de un polinomio:
Son cada uno de los monomios que lo forman. Si un monomio no tiene parte literal, o sea, es de grado cero, se llama término independiente.

2x2 – 4x + 3 es un polinomio de tres términos, siendo 3 el término independiente.

Grado de un polinomio:
El mayor de los grados de los monomios que lo forman.

4x3 + 2x – 8 à 3º grado

Valor numérico de un polinomio:
Es el valor que toma el polinomio cuando sustituimos las letras por el valor que nos digan y realizamos las operaciones indicadas en el polinomio.

P(x) = 5x2 + 3x - 2

El valor de P(x) para x = 2 es:

P(2) = 5 • 22 + 3 • 2 – 2 = 5 • 4 + 6 – 2 = 20 + 6 – 2 = 24.

Suma de polinomios:
Para sumar polinomios es aconsejable colocar uno debajo de otro, haciendo coincidir los monomios semejantes en la misma columna, y se suman los monomios semejantes. (Si falta algún grado en algún polinomio, se deja un espacio o se pone el monomio de ese grado con coeficiente cero).
A = 6x4 – 3x2 + 5x – 2            B = -2x4 + x3 – 3x + 1

A + B = 4x4 + x3 – 3x2 + 2x – 1

Resta de polinomios :
Para restar polinomios se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Para ello se cambian de signo todos los términos del segundo polinomio y se suma con el primero.

A = 6x4 – 3x2 + 5x – 2             B = -2x4 + x3 – 3x + 1
A - B = 8x4 - x3 – 3x2 + 8x – 3

Producto de polinomios:
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del multiplicador por todos los términos del multiplicando y luego se suman los monomios semejantes (Es aconsejable dejar huecos cuando falte algún grado en el multiplicando o en el multiplicador, para facilitar la colocación de los productos parciales).


Ejemplos:
a) Polinomio por un número:
(4x3 – 5x2 + 6x – 3) • 3 = 12x3 – 15x2 + 18x – 9

b) Polinomio por un monomio:
(4x3 – 5x2 + 6x – 3) • 2x = 8x4 – 10x3 + 12x2 – 6x

c) Polinomio por polinomio:
(4x3 – 5x2 + 6x – 3) • (3x – 2) = 12x4 – 23x3 + 28x2 – 21x + 6


d) Otro ejemplo:
P(x) = 2x3 – 4x + 3;     Q(x) = 3x2 – 5x – 2 à P(x) • Q(x) = 6x5 - 10x4 – 16x3 + 29x2 – 7x - 6

Extracción de factor común: En una suma de monomios si cada uno de ellos está compuesto por varios factores y alguno de los mismos es común a varios sumandos, se puede extraer ese factor común y multiplicarlo por la suma de los monomios que han quedado. En realidad, se trata de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma (cambiando la dirección, claro está). [Si nos fijamos bien, el procedimiento adecuado consiste en extraer el mcd de los sumandos.]

a•b + a•c = a (b + c)

3x + 3y = 3(x + y)

2a + 4b = 2a + 2•2b = 2(a + 2b)

4ab + 4b2 = 4ab + 4b•b = 4b(a + b)

5x + 5xy = 5x(1 + y) (¡Ojo con el 1!)

Igualdades notables:

a) Cuadrado de una suma (a + b)2: El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más dos veces el primero por el segundo. (*)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Explicación ® (a + b) 2 = (a + b)•(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + 2ab

b) Cuadrado de una resta (a – b)2: El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos dos veces el primero por el segundo. (*)

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
Explicación ® (a - b) 2 = (a - b)•(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 + b2 - 2ab

c) Suma por diferencia (a + b) • (a – b): Es igual a diferencia de cuadrados. (*)

(a + b)•(a – b) = a2 - b2
Explicación ® (a + b)•(a – b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2

[(*) Si en el examen del tema se pregunta por alguna de estas igualdades notables habrá que escribir la redacción, no basta sólo con la fórmula. Por lo tanto, se aconseja su estudio prácticamente al pie de la letra]

Descomposición factorial de un polinomio: Descomponer un polinomio en factores es encontrar un producto de factores cuyo resultado sea el polinomio original. Para ello, lo mejor es extraer factor común, si se puede, o descubrir si hay alguna igualdad notable directa o encubierta.

3x2 + 6x = 3x(x + 2)                                       16x2 – 24x + 9 = (4x – 3)2

[Estrategias para “ver” la descomposición factorial de un polinomio empleando igualdades notables: Tenemos que detectar si alguno de los términos es un cuadrado y, si es así, comprobar que hay un segundo término que también sea un cuadrado. Si tuviéramos dos términos que son cuadrados perfectos hay que ver si existe de alguna forma el “doble producto del primero por el segundo” de los números que originan esos cuadrados perfectos, en cuyo caso concluiríamos que se trata del cuadrado de una suma o de una resta. Si sólo hubiera dos términos cuadrados perfectos, y no se encontrara el “doble producto del primero por el segundo”, estaríamos ante la diferencia (comprobar que efectivamente es la diferencia) de cuadrados y los factores serían la suma por la diferencia de las raíces de los dos términos.]

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