1º ESO. Tema 3: Números Enteros


TEMA 3: LOS NÚMEROS ENTEROS

Números Naturales y Enteros:

            Números naturales: Conjunto de números desde el 0 hasta el infinito.
0, 1, 2, 3, ...
            El conjunto de los números naturales se representa con la letra N

            Números enteros: Conjunto de números negativos y positivos: desde el menos infinito hasta el más infinito:  
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

            El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z
           
            En el conjunto de los números enteros están incluidos los naturales.
           
Representación gráfica de los números enteros:

            Los números enteros se pueden representar en una recta numérica marcando la posición del cero y haciendo divisiones iguales hacia la izquierda y hacia la derecha. Cada división representa un número. A la izquierda del cero pondremos los negativos y a la derecha del cero, los positivos. Los números que en la recta quedan a la izquierda son menores que los que quedan a la derecha.

            Naturales + negativos = números enteros.























-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5


Valor absoluto de un número entero: Es el valor que tiene un número sin el signo. Se representa con dos rayitas verticales enmarcando al número.

|5| = 5              |-3| = 3

Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

Op de 3 = -3               Op de (-5) = 5

Si sumamos un número con su opuesto, el resultado es cero.

3 + (-3) = 0

Comparación (ordenación) de números enteros:

            a) Si los dos son positivos, es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
                       
4 > 3,    7 > 2,      1 < 6
           
            b) Si son de distinto signo, es mayor el positivo.

3 > (-5),                      7 > (-1)                       -6 < 2
           
            c) Si los dos son negativos es mayor el que tenga menor valor absoluto (el que esté más a la derecha en la recta numérica).

-2 > (-5),                     -4 > (-8)                      -6 < (-1)



SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

            En primer lugar, recordamos que los número negativos se escriben con el signo menos delante (-5) y que el signo + de los números positivos no se escribe (+5 = 5).

            Cuando tengamos que realizar operaciones lo primero que haremos será quitar paréntesis, en el caso de que los hubiera.

            Si delante de un paréntesis hay un signo + quitamos el signo + y el paréntesis, dejando todos los números que haya dentro con el mismo signo que tuvieran antes:
3 + (-5) + (-2 - 1) + (4 + 2) = 3 – 5 – 2 – 1 + 4 + 2

            Si delante de un paréntesis hay un signo - quitamos el signo – y el paréntesis y a todos los números que haya dentro los cambiamos de signo:
2 - (-8) - (3 - 2) - (-4 + 1) = 2 + 8 – 3 + 2 + 4 - 1

            Es práctico asociar la suma y el signo + con: tengo, gano, me dan… Ej.: 3+5+2 (tengo 3, gano 5 y me dan 2)

            Es práctico asociar la resta y el signo - con: debo, pierdo, me quitan...3-2-4 (tengo 3, pierdo 2 y me quitan 4)
                                     
            Para sumar y restar, al  principio, podemos utilizar la recta numérica.

                        SUMAR: Vamos hacia la DERECHA.
(-3 + 5 = 2: desde -3 vamos 5 lugares hacia la derecha)

                        RESTAR: Vamos hacia la IZQUIERDA.
(2 - 3 = -1: desde 2 vamos 3 lugares hacia la izquierda)


            Una vez que se ha practicado con la recta numérica entera, hay que sumar o restar números enteros mentalmente. Puedes encontrar varias formas de operar, pero la que te propongo aquí creo que es la más fácil y práctica, tras haberla practicado durante años con mis alumnos.


SUMAR O RESTAR ENTEROS (Recuerda que primero hay que quitar los paréntesis,  si los hubiera):         
a) Números precedidos del mismo signo: Se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los números.

7 + 8 = 15          -6 + (-7) = -6 – 7 = -13      4 – (-5) = 4 + 5 = 9
b) Números precedidos de distinto signo: Al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

4 – 9 = -5       -3 + 7 = 4         8 – 6 = 2     -2 – (-8) = -2 + 8 = 6

Resolución de operaciones combinadas:
            Cuando haya una sucesión de varias operaciones se pueden resolver de la siguiente manera:

Primero hay que quitar paréntesis, si los hubiera:
- Se puede empezar quitando los de dentro y terminar por el de fuera o, al revés, ir quitando desde fuera hacia dentro (¡OJO! con el signo menos).

EJEMPLO: 3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)]

Resolvámoslo empezando desde dentro hacia fuera:
3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)] = 3 – (4 + 3 – 1 – 5 + 1) = 3 – 4 – 3 + 1 + 5 – 1 = 1

Resolvámoslo empezando desde fuera hacia dentro:
3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)]= 3 - 4 - (3 - 1) + (5 - 1) = 3 - 4 - 3 + 1 + 5 - 1 = 1
(No me cansaré de repetirlo: ¡MUCHO CUIDADO CON LOS SIGNOS MENOS!)

- Si no te indican lo contrario se puede resolver la operación que haya en el interior del paréntesis.

                        3 – [4 + (3 – 1) – (5 – 1)] = 3 – (4 + 2 – 4) = 3 – 2 = 1

Cuando ya no hay paréntesis se pueden sumar de dos maneras:
- Se suman los números precedidos del signo más y luego los precedidos del signo menos y al resultado de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y se pone el signo del de mayor valor absoluto.

7 - 2 + 3 – 9 = 10 – 11 = -1

- Se suman secuencialmente: el primer número de la izquierda con el segundo, el resultado con el tercero y así sucesivamente.

7 - 2 + 3 – 9 = 5 + 3 – 9 = 8 – 9 = -1

Multiplicar y dividir números enteros

            Se multiplican o dividen sus valores absolutos como los números naturales y para el signo se tienen en cuenta las siguientes reglas:

            a) Si los dos signos son iguales, el resultado es positivo.

                        3 · 4 = 12        -4 · (-3) = 12

                        12 : 6 = 2        -24 : (-8) = 3

            b) Si los dos signos son distintos, el resultado es negativo.

                        -4 · 5 = -20      54 : (-6) = -9

Cuadro con la regla de los signos (es válido para la multiplicación y para la división):


+
-
+
+
-
-
-
+


Operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones: Cuando tenemos que realizar operaciones combinadas hay que respetar la jerarquía de las operaciones:

primero se trabajan los paréntesis (quitándolos o resolviéndolos)

en segundo lugar se realizan los productos y divisiones

y, para terminar, sumas y restas.

En operaciones con la misma jerarquía se empieza por la izquierda.

7 - 2 · [5 – 2 · (3 – 7)] – 9 : (-3) = 7 - 2 · [5 – 2 · (-4)] – 9 : (-3) =
= 7 - 2 · (5 + 8) – 9 : (-3) = 7 - 2 · 13 – 9 : (-3) = 7 - 26 – 9 : (-3) = 7 - 26 + 3 = - 16

(Nota: Cuando hay varios paréntesis anidados, sólo lleva el signo del paréntesis el de dentro, los demás se sustituyen por corchetes)


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