1º ESO. Tema 2: Divisibilidad

TEMA 2: DIVISIBILIDAD

Divisibilidad: Un número, a, es divisible por otro, b, cuando el número b cabe un número exacto de veces en el a. Esto es, cuando la división a:b es exacta.

36 es divisible por 9, porque 36 : 9 = 4. (resto cero)

(¿Sabías que la palabra divisibilidad es una de las pocas palabras que hay en el idioma español con 5 íes? Así que no te olvides de ninguna de las íes y, lo que es más importante, fíjate en que se escribe con v y con b. A propósito, ¿te has dado cuenta también de que en español hay muy pocas palabras con 6 íes y una de ellas es indivisibilidad -cualidad de indivisible, según la RAE?).

Múltiplos y Divisores de un número:

            Si a es divisible por b se dice que:

                        . a es múltiplo de b

                        . b es divisor de a.
           
            Como 12 es divisible por 3, decimos que

            - 12 es múltiplo de 3 y

            - 3 es divisor de 12.

Propiedades de múltiplos y divisores:

            . Los divisores de un número forman parejas, de tal forma que el producto de la pareja es el número del que son divisores. Así, p. ej., 2 y 12 forman una pareja de divisores del 24 (porque 2 x 12 = 24) (El 2 y el 3 también son divisores de 24, pero no forman una pareja de divisores del 24).

            . Cualquier número tiene como mínimo dos divisores: él mismo y la unidad.

            . Si un número sólo tiene como divisores a él mismo y a la unidad se dice que es un número primo. Ej.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... (El cero y el uno no se consideran primos ni compuestos).

            . Para obtener un múltiplo de a, basta con multiplicarlo por cualquier número. Ej.: Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15,...

            . Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.

            . El cero es múltiplo de cualquier número, pero divisor de ninguno.

            . Los múltiplos de un número son infinitos. Los divisores son finitos (tienen fin).

Criterios de divisibilidad: Reglas que nos permiten descubrir, sin efectuar la división, si un número es divisible por otro.

            - Por 2: Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 ó en cifra par.
                       
8, 20, 346, 5670, 49364

            - Por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres.               
9, 18, 39, 108, 4320, 62736


            - Por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
                       
10, 25, 90, 1550, 4755, 6580, 49365.

            - Por 6: Un número es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.

12, 24, 72, 120

            - Por 9: Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.  
9, 27, 54, 72, 4320

            - Por 11: Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras que ocupan lugar impar menos la suma de las cifras que ocupan lugar par da cero o múltiplo de 11

253, 7381.

(Veamos cómo comprobar si el 7381 es múltiplo de 11: Las cifras de este número ocupan 4 lugares. En el primer lugar está el 1, en el 2º lugar está el 8, en el 3º lugar está el 3 y en el 4º lugar está el 7. Las cifras que ocupan lugares impares, el 1º y el 3º, son el 1 y el 3, que suman 4. Las cifras que ocupan lugares pares, el 2º y el 4º, son el 8 y el 7, que suman 15. Restando las dos sumas nos da: 15 - 4 = 11. Luego el 7381 es múltiplo de 11. ¡OJO! En este criterio de divisibilidad la resta puede hacerse en los dos sentidos: 15 - 4, que da 11, ó 4 - 15, que da -11, que también es múltiplo de 11. Pero, como todavía no hemos visto los números enteros y sólo estamos trabajando con los naturales, conviene restar la menor cantidad de la mayor, para obtener números naturales. Otra observación: Para saber cuáles son los lugares pares o impares se puede empezar a contar desde la derecha o desde la izquierda. En nuestro ejemplo, si empezamos desde la izquierda, los lugares impares estarían ocupados por el 7 y por el 8, que suman 15, y los lugares pares, por el 3 y por el 1, que suman 4. Restando tendremos 15 - 4 = 11).

Ejercicios sobre CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Entre los ejercicios que te propongan para trabajar los criterios de divisibilidad puedes encontrarte algunos semejantes a éstos:

1.- Di si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 6, 9 y/o 11:

            42, 66, 40, 81, 72, 134, 270, 415, 1210, 426, 4380, 24, 218.

                Este tipo de ejercicios no entraña ninguna dificultad, sólo hay que comprobar si cada número es divisible por 2, por 3, por 5, por 6, por 9 y por 11. Veámoslo con uno de ellos, el 4380.
                - ¿4380 es divisible por 2? Sí, porque termina en cero.
                - ¿4380 es divisible por 3? Sí, porque la suma de sus cifras, 15, es múltiplo de 3.
                - ¿4380 es divisible por 5? Sí, porque termina en cero.
                - ¿4380 es divisible por 6? Sí, porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
                - ¿4380 es divisible por 9? No, porque la suma de sus cifras, 15, no es múltiplo de 9.
                - ¿4380 es divisible por 11? No, porque la suma de sus cifras de lugar impar, 0 + 3, menos la suma de sus cifras de lugar par, 8 + 4, no es ni cero ni múltiplo de 11: 12 - 3 = 9.
                Respuesta: El número 4380 es divisible por 2, 3, 5 y 6.

2.- Sustituye las letras por una cifra para que el número resultante sea divisible por 6: 30A, 47B, 6C8, 9DE.

            Aquí nos encontramos con un ejercicio que requiere organización y meticulosidad. Veamos uno por uno:

(Antes de nada, recordemos que para que un número sea divisible por 6 lo ha de ser a la vez por 2 y por 3, esto es, ha de acabar en cifra par y la totalidad de sus cifras sumar un múltiplo de 3)

                - Número 30A. La A puede ser cualquier cifra par. Pero para ser divisible por 3 la suma de todas las cifras del número ha de ser múltiplo de 3. Si la A es 0, la suma de todas es 3. Por lo tanto, es divisible por 6. Si la A es 2, la suma de todas es 5, que no es múltiplo de 3. Si la A es 4, la suma de todas es 7, que no es múltiplo de 3. Si la A es 6, la suma de todas las cifras es 9, que es múltiplo de 3 y, por tanto, de 6. Si la A es 8, la suma de todas las cifras es 11, que no es múltiplo de 3.

                Respuesta: La A puede ser 0 ó 6, con lo que tendremos los números 300 y 306.

                - Número 47B. Siguiendo el mismo razonamiento que con el número anterior comprobaremos que la única cifra que cumple las condiciones para que el número en cuestión sea divisible por 6 es el 4.

                Respuesta: B = 4. El número es 474.

                - Número 6C8. Como termina en cifra par, sólo nos tenemos que fijar en cuánto ha de valer la letra C para que el número resultante sea divisible por 3 y, por tanto, por 6. Si la C valiera 0, la suma de sus cifras sería 14, que no es múltiplo de 3. Si la C valiera 1, la suma de sus cifras sería 15, múltiplo de 3. Si la C fuera 2, la suma de las cifras sería 16, que no es múltiplo de 3. Siguiendo con estos razonamientos, las cifras válidas para C son: 1, 4 y 7.

                Respuesta: C = 1, 4 y 7. Los números pueden ser: 618, 648 y 678.

                - Número 9DE. Este ejercicio es la joya de la corona, como se suele decir. Para responderlo es aconsejable ayudarse de una tabla con dos columnas y 11 filas. En la columna de la izquierda colocamos las 10 cifras, del 0 al 9, que pude valer la letra D y en la segunda columna colocamos los valores que puede tomar la letra E para cada uno de los valores de la D en la columna izquierda, de tal forma que el número resultante sea divisible por 6. Quedaría algo así como esto:

D
E
Números
0
0, 6
900, 906
1
2, 8
912, 918
2
4
924
3
0, 6
930, 936
4
2, 8
942, 948
5
4
954
6
0, 6
960, 966
7
2, 8
972, 978
8
4
984
9
0, 6
990, 996

Número primo: Es el que sólo tiene como divisores a él mismo y a la unidad.

2, 3, 5, 7, 11, 13,…

(¡OJO! No nos olvidemos de decir que número primo es el que sólo tiene como divisores a 1 y a él mismo, porque si no entra la palabra sólo en la definición, ésta puede ser incorrecta).

            Los números que no son primos se llaman compuestos (porque están compuestos por más divisores que ellos mismos y la unidad). (El 0 y el 1 no se consideran primos ni compuestos).

Descomposición de un número en factores primos: Descomponer un número en factores primos es encontrar los factores primos que multiplicados originan el número.

            Para descomponer un número en sus factores primos se va dividiendo sucesivamente entre los números primos por los que sea divisible, empezando por el menor. En las divisiones sucesivas cada cociente se convierte en dividendo de la siguiente división. Se termina cuando el último cociente es un uno.

EJEMPLO: Descomponer el número 72 en sus factores primos

¿El 72 es divisible por 2? Sí, porque termina en cifra par
72
2
Pongo el 2 a la derecha y divido mentalmente, escribiendo debajo del 72 el resultado
36
2
Divido 36 entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 36
18
2
Divido 18 entre 2 y el resultado lo escribo debajo del 18
9
3
9 no es divisible por 2. ¿Es divisible por 3? Sí y escribo el resultado a la izquierda
3
3
Divido 3 entre 3 y escribo el resultado debajo del 3
1
Como el resultado es 1, he terminado.
72  =
 23 · 32

            Si tienes que descomponer un número terminado en ceros, puedes empezar a dividir directamente entre la unidad seguida del mismo números de ceros en que termine el número que hayas de descomponer. Así, por ejemplo, si te piden descomponer el número 7.200 en sus factores primos, puedes empezar dividiendo entre 100, con lo que se te queda en 72. Alguien podría preguntar que el número 100 no es un número primo, pero es que no pondremos 100, sino que escribiremos la descomposición en factores de 100, que es: 100 = 102 = (2 · 5)2 = 22 · 52. Recuerda que la unidad seguida de ceros es igual a los factores 2 · 5 elevados cada uno al mismo exponente que número de ceros haya. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO: Descomponer el número 420 en sus factores primos.

Comienzo dividiendo de entrada el 420 entre 10 (2 · 5)
420
2 · 5
Pongo 2 · 5 a la derecha y el resultado lo escribo debajo del 420
42
2
Como 42 es divisible entre 2, lo divido y escribo el resultado debajo del 42
21
3
¿21 es divisible entre 2? No. ¿Es divisible por 3? Sí. Divido y pongo el resultado debajo del 21
7
7
¿7 es divisible por 3? No, porque es primo. Divido 7 entre sí mismo
1
Como el resultado es 1, he terminado.
420  =
 22 · 3 · 5 · 7

Mínimo común múltiplo (mcm):
            El mcm de dos o más números es un número que es múltiplo a la vez de todos ellos y, además, es el menor.

                En los cursos de Primaria escribíamos los primeros múltiplos de un número y luego los primeros múltiplos del otro número. Veíamos cuáles eran comunes y escogíamos el más pequeño. Veámoslo con un ejemplo:

                Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...
                Múltliplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, ...
                Múltiplos comunes: 18, 36, 54, ...   Mínimo múltiplo común: 18
                mcm (6 y 9) = 18.

                A partir de la ESO tenemos que aprender a calcular el mcm de una manera más rápida y elegante:

            Para hallar el mcm de dos o más números se descomponen éstos en sus factores primos y se multiplican los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

EJEMPLO: Calcular el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

6
2
9
3
Los factores primos del 6 son 2 y 3. El factor primo del 9 es 3
3
3
3
3
Factores primos comunes: el 3. Mayor exponente del 3: el 2
1
1
Factor primo no común: el 2. Mayor exponente del 2: el 1
6 =
2 · 3
9 =
32
Multiplicamos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente: 2 · 32

De esta forma tenemos el resultado:  mcm (6 y 9) = 2 · 32 = 18.

(Cuando un número es pequeño no es necesario realizar la descomposición en sus factores primos, basta con escribirlos directamente: 6 = 2 · 3. Con la práctica y la agilidad en el cálculo mental irás sabiendo cuáles son los factores primos de los números pequeños).

Máximo común divisor de dos o más números (mcd):
            El mcd de dos o más números es un número que divide a todos ellos y, además, es el máximo.

                En los cursos de Primaria escribíamos los divisores de uno de los números y luego los divisores del otro número. Veíamos cuáles eran comunes y escogíamos el mayor. Veámoslo con un ejemplo:

                Divisores de 18: 18, 9, 6, 3, 2, 1
                Divisores de 24: 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1
                Divisores comunes: 1, 2, 3, 6.          Máximo divisor común: 6
                mcd (18 y 24) = 6,  mcd (18 y 27) = 32 = 9,  mcd (36 y 48) = 22·3 = 12

                A partir de la ESO tenemos que aprender a calcular el mcd de una manera más rápida y elegante:

            Para calcular el mcd de dos o más números se descomponen éstos en sus factores primos y se multiplican los factores primos comunes con su menor exponente.

EJEMPLO: Calcular el máximo común divisor de 18 y 27.

18
2
27
3
Los factores primos del 18 son 2 y 3. El factor primo de 27 es 3
9
3
9
3
Factores primos comunes: el 3. Menor exponente: el 2
3
3
3
3
Multiplicamos los factores primos comunes con su menor exponente: 32
1
1
18 =
2 · 32
27 =
33

De esta forma tenemos el resultado:  mcd (18 y 27) = 32 = 9

            Cuando el mcd de dos o más números es 1, estos números son primos entre sí.

EJEMPLO: Calcular el máximo común divisor de 4 y 9.

            Factores primos de 4 = 22.
            Factores primos de 9 = 32.

            Factores primos comunes: ninguno, excepto el 1 (recuerda que 1 es divisor de todos)

            Por lo tanto, mcd (4 y 9) = 1.

            (Observa que ni el 4 ni el 9 son primos, pero sí son primos entre sí, porque no tienen ningún divisor común, salvo el 1, que sería el máximo común divisor).


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