1º ESO. Tema 6: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

DE ESO. TEMA 6: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

PROGRAMACIÓN

Ses.

Metodología

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- Entregar control del tema anterior.
- Explicar conceptos básicos sobre potencias.
- Ejercicios: Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar producto y cociente de potencias de la misma base y potencia de una potencia.
- Ejercicios: Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar potencia de un producto, potencia de un cociente y casos especiales.
- Ejercicios: Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar conceptos básicos sobre la raíz cuadrada.
- Ejercicios: Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Explicar procedimiento para el cálculo de la raíz cuadrada.
- Ejercicios: Pág.
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- Corregir sesión anterior.
- Repasar.
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- Control.



DESARROLLO DEL TEMA

TEMA 6: POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Potencia: Una potencia es un producto de factores iguales.
3 • 3 • 3 • 3 = 34
- El 3 es la base: nº que se multiplica por sí mismo tantas veces como indica el exponente.
- El 4 es el exponente: nº que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

(Al leer potencias, distinguir entre cuadrado y cubo. Le cuesta mucho a los alumnos).

Cuadrado perfecto: Es el número que resulta de elevar al cuadrado un número natural. Los cuadrados perfectos son: 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc.

Cubo perfecto: Es el número que resulta de elevar al cubo un número natural. Los cubos perfectos son: 0, 1, 8, 27, 64, 125, etc.

Potencias de 10: Son las potencias cuya base es 10 y el exponente es un número entero. Una potencia de 10 es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. 103 = 1000.

Notación científica: Cuando un número es muy grande o muy pequeño, en vez de escribirlo completo, se abrevia empleando la notación científica, que consiste en escribir un número decimal con una sola cifra no nula como parte entera y multiplicarlo por una potencia de 10 con exponente entero igual al número de cifras que se hayan separado con la coma. 738000000 = 7,38 • 108 0,00000031 = 3,1 • 10-7.

[De todas formas, la tendencia es a poner pocas cifras y a redondear. Por ejemplo, la velocidad de la luz es de
299 792 458 m/s y en todos los manuales ponen 300 000 km/s ó 300 000 000 m/s y, en notación científica, 3•10-8 m/s. Si la finalidad de la notación científica es la de simplificar una gran cantidad de dígitos, parece lógico que tampoco tenga sentido poner una gran cantidad de cifras decimales].

Signo de una potencia:
a) Si la base es positiva: el resultado siempre es positivo.

34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

b) Si la base es negativa: el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar:
- exponente par: resultado positivo.

(-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81

- exponente impar: resultado negativo.

(-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32.

Operaciones con potencias:

a) Producto de potencias de la misma base (am • an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la suma de los exponentes.
34 • 32 = 36
Explicación: 34 = 3 • 3 • 3 • 3; 32 = 3 • 3.
Por tanto: 34 • 32 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 36

b) Cociente de potencias de la misma base (am : an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la resta de los exponentes.


c) Potencia de una potencia [(am)n]: Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente el producto de los exponentes.
(34)2 = 38
Explicación: (34)2 = (34) • (34) = (3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 38

d) Potencia de un producto [(a • b)n]: Es igual al producto de las potencias de los factores.
(3 • 4)2 = 32 • 42
Explicación: (3 • 4)2 = (3 • 4) • (3 • 4) = 3 • 4 • 3 • 4 = 32 • 42

e) Potencia de un cociente [(a : b)n]: Es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

f) Casos especiales:
- Potencia de exponente cero: Es siempre igual a 1. Por ejemplo: si dividimos a4 entre a4 lo podemos hacer de dos maneras:
- a4 : a4 (algo entre sí mismo) = 1
- a4 : a4 (restando exponentes) = a0
Una división, aunque se haga de distintas maneras, siempre ha de dar el mismo resultado. Por lo tanto, los dos resultados son iguales:
a0 = 1 (a distinto de 0)

- Potencia de base 10: es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.
104 = 10 • 10 • 10 • 10 = 10000

- El cero elevado a cualquier potencia siempre es cero.
0n = 0, siendo n distinto de 0 03 = 0 • 0 • 0 = 0

- El uno elevado a cualquier potencia siempre es uno.
1n = 1 13 = 1 • 1 • 1 = 1

- Cualquier número elevado a la 1 es el mismo número (por eso el exponente 1 no se escribe).
a1 = a 41 = 4

Raíz cuadrada:

Operación inversa de elevar al cuadrado.
Hallar la raíz cuadrada de un número es encontrar otro número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primero. Ej.: La raíz cuadrada de 81 es 9, porque 9x9 es 81.

Si un número tiene raíz cuadrada exacta se le llama cuadrado perfecto.

Términos de una raíz:

El signo parecido a la V se llama radical. El radical lleva un índice, que si es el 2, de raíz cuadrada, no se escribe. [Se cree que el signo del radical es una deformación de la letra r, letra utilizada antiguamente para indicar la raíz]
9: Se llama radicando.
3: Se llama raíz.
Cuando la raíz no es exacta queda un resto. Ejemplo: En la raíz cuadrada de 10 el resto es 1.

Raíces de un número:
a) Si el número es positivo, tiene dos raíces: una positiva y otra negativa
b) Si el número es negativo, no tiene raíces reales
(No conocemos ningún número real que multiplicado por sí mismo nos dé -9)

c) Si el número es cero, su raíz es una: el cero.

Cálculo de la raíz cuadrada:

Procedimiento para hallar la raíz cuadrada de un número

1.- Se separan las cifras del radicando en grupos de dos empezando por la derecha

2.- Se busca un número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primer grupo de la izquierda

3.- Se multiplica el número obtenido por sí mismo y el resultado se resta del primer grupo de la izquierda

4.- A continuación del resto se baja el siguiente grupo de dos cifras

5.- Debajo de la raíz se pone su doble

6.- A continuación del doble de la raíz se pone un cuadrito, el signo de multiplicar y otro cuadrito



7.- Las cifras del radical, menos la última de la derecha, se dividen entre el doble de la raíz, colocando el resultado (que no puede ser superior a 9) en cada uno de los dos cuadritos

8.- Se hace la multiplicación indicada en la zona de la derecha y el resultado se resta de la cantidad de la izquierda; si fuera mayor, se disminuye el número del cuadrito

9.- El número del cuadrito se sube a la raíz

10.- Si hubiera más cifras en el radicando, se va al paso 4º.

Prueba de la raíz cuadrada: El radicando es igual al cuadrado de la raíz más el resto. [Cada resto parcial tiene que ser menor o igual que el doble de cada raíz resultante].

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